作者简介

张宇宁博士,飞利浦(中国)研究院资深研究员,CSHIA智能家居创业营、CSHIA微课堂最受欢迎导师。

引 言

去年五一假期写了一篇欧拉恒等式的短文(《后浪》刷屏 | 智能家居技术“前浪”解读“欧拉恒等式”),当时立了三个flag:欧拉恒等式,麦克斯韦方程组和三维空间的斯托克斯公式。今天终于把第三个flag收了。

龚昇先生在他的《微积分五讲》(B站上有资源)中,反复强调两个观点:1)三维空间的斯托克斯公式,是整个微积分的“顶峰和终点”,也是“近代数学的入口处”。2)单变量微积分和多变量微积分的根本区别,是多变量微积分有外微分形式而单变量微积分没有外微分形式。

这个观点大致搞明白了,写个短文总结记录一下,也希望把龚先生口中的这个“大美人”,“漂亮得不得了的东西”分享给更多的人。

01
基础知识

本文的目的,是用繁琐、啰嗦、重复的自然语言说清楚两件事情:

1) 这一堆东西到底在说什么事情?
2) 为什么就是这个样子?

我们想用最直白的语言说清楚第一件事。为了说明第二件事,就不得不使用一些数学语言和公式了。这篇短文需要的基础知识有:

偏微分与全微分

向量场与向量的运算(内积,外积)

向量场的三个度——梯度、散度、旋度

重积分,闭合曲面、闭合曲线的积分

格林定理、高斯定理、斯托克斯定理

即使没有这些基础知识,也可以读下去。因为那些繁琐、啰嗦、重复的自然语言依然可以告诉你“这一切都在说什么事”。

02
微积分中描述 “内部”与“边界”的三个定理—— 格林、高斯、斯托克斯定理

微积分到了向量空间与向量场这一步,引入了三个描述“整体”与“局部”,或者说“内部”与“边界”的定理。这三个定理我们直接抄在下面:

Green定理

Stokes定理

Gauss定理

这三个定理的证明不是我们的目的。它们所揭示的意义才是我们的关注点。以Green公式为例,它说向量?。≒,Q)的某种运算形式(其实是图片)在平面D上的面积分,等于(P,Q)在边界L上的线积分。Stokes, Gauss公式也在说类似的事情。

我们的重点来了—— 有没有可能,这些定理之间是有关联的,他们都受一个更高级的定理支配?或者说,是不是存在一个更高级的定理,它说明了一个更普遍的事实,而上面这些公式只是这个更高级的定理在不同的条件下的例化?

答案是肯定的。确实存在一个更高级的定理,它统一了格林、高斯、斯托克斯定理。这三个定理只是这个更高级的定理在不同空间维度的例化。为了显示这个定理的与众不同,也为了替换“更高级的定理”这六个字,我们在本文中称它为“真理”。

为了揭露这个真理,不得不介绍外微分这个工具。

03
函数的外微分形式和三个定理的统一

多变量函数的外微分形式是探知这个“真理”的数学工具,但这是我十分不想去涉及的话题,因为它不够直观。我们先做个免责声明——你可以不去看这一节,这不会影响我们想讲的第一件事,即这一切都在说什么。但要想知道为什么就是这样,这节就躲不过去了。

所谓不够直观,让我们拿它和上次说的欧拉恒等式做个比较。如果我们用事后诸葛亮的视角去看欧拉恒等式那一套东西,我们会发现这个脉络是很清楚的。

我们来啰嗦一遍:先有极限的思想,然后有了导数的概念,进而求出连续函数的导数。这时泰勒传出关键球,说连续可微函数都可以展开成幂级数的形式,然后人们欢呼,求出指数函数、正弦、余弦的泰勒展开。关系已然若隐若现。最后欧拉出场,给出灵魂一击,引入虚数单位图片,进球!

我们似乎会感觉,即使自己站在那个时刻,也许也能灵光一现得出这个等式。

但是外微分形式不同,即使用“事后视角”,(对我来说)也很难想明白当初那些人怎么就想到这么办呢?这时我们只能退而求其次:我们不需要知道他们是怎么想到这个事的,我们只要知道他们这么做确实是有道理的。这也很好了。

外微分形式的思路大概基于两点事实:

1) 不管是直角坐标系,还是极坐标系或其它什么坐标系,坐标轴之间都是垂直的。即,坐标系的单位向量构成一组正交基。

2) 单位向量之间的乘法可以按照向量的外积运算,即将积分单位dxdy按dx 与 dy做向量积来处理,记作dx∧dy。这大概是所谓“外”微分的由来。

根据向量积(外积)的性质,我们立刻有两个关系:

即向量与自己的外积为零;向量交换次序则结果取负。

我们啰嗦一遍:函数(或向量?。┛梢钥醋魇莇x, dy, dz的线性组合;dx, dy, dz之间的乘法运算可以看作向量的外积运算。有了这个准备,下面我们来看这几个不同的公式是怎么统一到一起的。

下面的过程公式输入过于繁琐,我们就手写。

我们得到一个结论:在外微分形式的表示下,Green, Stocks, Gauss公式可以统一成一个公式:

它被称为三维空间的Stokes公式,或一般化的Stokes公式。其中,图片是函数或者向量场的外微分形式,d图片是对图片的微分;D是积分区域,图片这个区域的边界(降一维)。

这就是我们要揭露的真理。

04
微积分的“顶峰”和“终点”——三维空间的斯托克斯公式

我们再用啰嗦的自然语言把这个“真理”重说一遍:

在一个连续、平滑的函数或者向量场中(向量场是若干多变量函数的集合),函数(或向量?。┑囊唤淄馕⒎中问皆谝桓龇獗涨蚰诘幕?,总是等于这个函数(或向量?。┰谡飧銮虮呓绲幕?。

写成公式就是:

其中,图片是函数或者向量场的外微分形式,d图片是对图片的微分;D是积分区域,图片这个区域的边界(降一维)。

整个微积分就是在从不同的角度描述这个“真理”。这个“真理”在不同的维度上就演化成了不同的定理。具体说来——

1) 在一维空间中,积分区域D是一个线段,D的边界是线段的两个端点。此时,函数F的微分形式在区域D上的积分,就转化成函数F在线段d的两个端点的值。这就是Newton-Leibniz公式(微积分基本定理)。

2) 在二维空间中,积分区域D是一个平面,D的边界是围绕平面的曲线L。此时,向量?。≒, Q)的微分形式在区域D上的面积分,就转化成(P, Q)在曲线L上的线积分。这就是Green公式。

3) 在三维空间中,积分区域D是一个空间曲面,D的边界是围绕曲面的曲线L。此时,向量?。≒, Q, R)的微分形式在区域D上的面积分,就转化成(P, Q, R)在曲线L上的线积分。这就是Stokes公式。

4) 在三维空间中,积分区域D是一个空间三维体,D的边界是围绕体的曲面S。此时,向量?。≒, Q, R)的微分形式在区域D上的体积分,就转化成(P, Q, R)在曲面S上的面积分。这就是Gauss公式。

上面的四段话总结成一个表就是下表:

表1. 图片 在不同条件下的表现形式

上述等式中左边的那一堆式子看起来很复杂,它们就是函数(或向量?。┰诓煌仁钡耐馕⒎中问?。这个我们在前面已经计算过了(就是那个图片)。如果结合向量场中的“三度”(梯度、散度、旋度)的算子,这些公式可以写成很“玄幻”,很“高冷”的样子,但其本质还是在讲这些很朴实的事情。

比如,高斯公式可以用图片算子写成这个形式:

它和上面4)中展开的高斯公式是一回事,都是“真理”在描述三维向量场中体与其包络面的关系。这个关系的大白话是:向量场F的散度在区域V上的积分,等于这个向量场在区域的表面S的向量积分。把向量场理解成水流,就是说从一个区域V中流出去的水,全部都从这个区域V的表面S流了出去。这简直像是“正确的废话”了。只不过前者是数量的三重积分,后者是向量的二重积分。

你看,看似高深莫测,解构之后不过如此。

在实际的三维空间中,只会有表1中的四种情况。所以描述物理世界的“区域”与“边界”的定理就这四个,再没其他的了。

这就是文章开头说的“微积分中最简洁、最深刻的定理”,也是“微积分的顶峰和终点”。

05
微结尾——一个故事

这一切都有什么用呢?

曾经有段时间我很迷当年明月的《明朝那些事》,九本书反复读了好几遍。有人问他,你写明朝这些历史,到底想说什么呢?他用一个故事作为整个小说的结尾,一个关于徐霞客的故事。

我也想用一个故事做这个短文的结尾,一个法拉第和麦克斯韦的故事。

晚年的麦克斯韦已经是名誉世界的物理学家了,可他却陷于深深的苦恼。他不能将他关于电磁学的发现用数学公式统一起来??悸堑侥歉瞿甏奈锢硌Ч奖热绲绱帕?,法拉第想的大概是物理量的四则运算。而四则运算是不可能解释电磁现象的。

在法拉第等人大量地发现电磁现象的几年里,年轻的麦克斯韦正在剑桥大学学习“当时世界上最先进的数学”,也就是微积分。后来的某一天,麦克斯韦拜见法拉第,说“我可以用数学公式统一所有的电磁现象”。麦克斯韦面对那一条条文字叙述的电磁规律,大笔一挥写下了四个方程——麦克斯韦方程组。这个方程组有不同的表现形式,但不管形式怎么变,它都在反复地说这么四件事——电场是有源??;磁场是无源??;电流和电场的变化产生磁??;磁场的变化产生电场。


纪录片:《天才简史—麦克斯韦》

这个方程组不但解释了当时已经发现的所有电磁学现象,它的后两个公式,强烈地暗示麦克斯韦电场和磁场之间有某种关系(我们上一次讲到,指数函数、正弦函数、余弦函数的泰勒展开强烈暗示欧拉它们之间有关系。这里终于引出了第二个“强烈的暗示”)。据此,他预言电场和磁场可以互相转换,甚至可以脱离介质而以一种波的形态在空间中存在!

这套方程组和理论因为太过于玄幻、晦涩难懂,在麦克斯韦生前迟迟没有得到物理学界的认可?!澳杲?9岁的麦克斯韦在不如意的境遇下,带着满身的遗憾和失落,早早地离开人世”。

直至他离世7年后,德国物理学家赫兹在实验中发现了电磁波的存在。此后,电磁学蓬勃发展并深刻地改变了世界。麦克斯韦和他的理论被一步步推向神坛。今天,麦克斯韦方程组被誉为“最美的物理公式”,而麦克斯韦本人也被誉为继牛顿之后,爱因斯坦之前最伟大的物理学家。

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